Temel Kavramlar 3

1. x, y ve z birbirinden farklı birer rakamdır. Buna göre, 3x + 2y - z ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

• A) -10
• B) -9
• C) -8
• D) -7 ✓

Verilen ifadenin en küçük değerini alabilmesi için katsayısı pozitif olan x ve y'ye en küçük, katsayısı negatif olan z'ye ise en büyük rakam değerleri verilmelidir. Toplamı olabildiğince küçük tutmak için katsayısı büyük olan x değişkenine en küçük rakam olan 0, y değişkenine ise 1 değerini vermeliyiz. Çıkarılan z değişkenine ise en büyük rakam olan 9'u vermeliyiz. İşlemi yaptığımızda: 3(0) + 2(1) - 9 = 0 + 2 - 9 = -7 sonucuna ulaşırız. (Not: 0 matematikte bir rakamdır.)

2. 4 ile bölünebilme kuralı nedir?

• A) Son rakamı çift olmalı
• B) Rakamları toplamı 4 olmalı
• C) Son iki basamağı 4'ün katı olmalı ✓
• D) Son rakamı 0 veya 4 olmalı

• Bölünebilme kuralı hatırlanır. • Kural: Sayının son iki basamağı 00 veya 4'ün katı olmalı. ✅ Sonuç: Son iki basamağı 4'ün katı olmalı.

3. x ve y pozitif tam sayılardır. 2 + y/x = 2,125 olduğuna göre, x + y toplamı en az kaçtır?

• A) 8
• B) 9 ✓
• C) 10
• D) 11

Verilen denklemde eşitliğin her iki tarafındaki tam kısım sadeleştirildiğinde 2 + y/x = 2 + 0,125 elde edilir. Buradan y/x = 0,125 olur. Ondalık gösterim rasyonel sayıya çevrilirse y/x = 125/1000 = 1/8 sonucuna ulaşılır. x ve y pozitif tam sayılarının toplamının en az olması için kesrin en sade hali alınmalıdır. Bu durumda en küçük değerler için y = 1 ve x = 8 olur. Buradan x + y toplamı en az 1 + 8 = 9 olarak bulunur.

4. m ve n doğal sayıdır. n · (m² + 1) = 16 olduğuna göre, m + n toplamı en az kaçtır?

• A) 9 ✓
• B) 10
• C) 13
• D) 15

• 16'nın çarpanları düşünülür. • m=1 için m²+1 = 2 => n = 8. m+n = 1+8 = 9. • m=0 için m²+1 = 1 => n = 16. m+n = 16. • m=3 için m²+1 = 10 (16'ya bölünmez). • En küçük toplam 9'dur.

5. x, y ve z birer sayma sayısıdır. x = 4y – z olduğuna göre, x + y + z toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

• A) –25
• B) –5
• C) 0
• D) 15 ✓

• x + z = 4y. • Toplam = x + y + z = (x+z) + y = 4y + y = 5y. • Toplam 5'in katı olmalıdır. Şıklarda pozitif ve 5'in katı olan 15 var (Sayma sayıları pozitiftir).

6. Üç basamaklı rakamları farklı en büyük doğal sayı ile üç basamaklı rakamları farklı en küçük doğal sayının toplamı kaçtır?

• A) 1009
• B) 1079
• C) 1089 ✓
• D) 1189

• En büyük (rakamları farklı): 987. • En küçük (rakamları farklı): 102. • Toplam: 987 + 102 = 1089.

7. Aşağıdakilerden hangisi bir rasyonel sayıdır?

• A) π (Pi sayısı)
• B) √5
• C) 0 ✓
• D) √7

• Rasyonel sayı tanımı kontrol edilir. • π, √5, √7 irrasyoneldir. • 0 sayısı 0/1 olarak yazılabilir. ✅ Sonuç: 0 rasyoneldir.

8. x, y birer pozitif tam sayı ve x + y = 14 olduğuna göre x · y çarpımının alabileceği en büyük tam sayı değeri en küçük tam sayı değerinden kaç fazladır?

• A) 49
• B) 42
• C) 39
• D) 36 ✓

• En Büyük: Sayılar birbirine en yakın: 7 ve 7 -> 7x7 = 49. • En Küçük: Sayılar birbirine en uzak: 1 ve 13 -> 1x13 = 13. • Fark: 49 - 13 = 36.

9. Rakamları farklı en küçük üç basamaklı doğal sayı kaçtır?

• A) 100
• B) 101
• C) 102 ✓
• D) 123

• Basamak analizi yapılır. • En küçük olması için yüzler basamağı 1, onlar basamağı 0 olmalı. • Rakamlar farklı dediği için birler basamağı 2 olmalı. ✅ Sonuç: 102.

10. a ve b sayma sayılarıdır. a · b = 20 olduğuna göre, a + b toplamının en büyük değeri ile en küçük değerinin toplamı kaçtır?

• A) 16
• B) 21
• C) 24
• D) 30 ✓

• a · b = 20 ise; • En uzak değerler (En Büyük Toplam): a=20, b=1 => 20+1=21 • En yakın değerler (En Küçük Toplam): a=5, b=4 => 5+4=9 • 21 + 9 = 30.

11. a, b ve c birbirinden farklı asal sayılardır. bc + ac = 3c² + 18 olduğuna göre, a.b.c çarpımı kaçtır?

• A) 58
• B) 68
• C) 78 ✓
• D) 88

• c(a + b - 3c) = 18. • c bir asal çarpan olmalı: c=2 veya c=3. • c=3 ise a+b-9=6 => a+b=15. Asal a,b: 2 ve 13. • Çarpım: 2 . 13 . 3 = 78.

12. Bir sayının 0'a bölümü (x/0) nedir?

• A) 0
• B) 1
• C) Tanımsız ✓
• D) x

• Matematiksel tanım hatırlanır. • Kural: Payda 0 olamaz. ✅ Sonuç: Tanımsız.

13. x, y ve z birer sayma sayısıdır. 2x = 3y ve 2y = 3z olduğuna göre, x + y + z nin alabileceği en küçük değer kaçtır?

• A) 13
• B) 15
• C) 17
• D) 19 ✓

• 2x=3y => x/y = 3/2 = 9/6. • 2y=3z => y/z = 3/2 = 6/4 (Genişlettik, y ortak). • x=9k, y=6k, z=4k. • En küçük sayma sayıları için k=1. • x+y+z = 9+6+4 = 19.

14. a gerçel sayısı için, a² - a = 1 olduğuna göre, a⁴ - 2 ifadesinin a türünden eşiti hangisidir?

• A) 2a
• B) 3a ✓
• C) 2a + 2
• D) 3a + 1

• a² = a + 1. • a⁴ = (a²)² = (a+1)² = a² + 2a + 1. • a² yerine tekrar a+1 yazarsak: (a+1) + 2a + 1 = 3a + 2. • İstenen: a⁴ - 2 = (3a + 2) - 2 = 3a.

15. a ve b asal sayılar olmak üzere, a - b = 1247 olduğuna göre a'nın rakamları toplamı kaçtır?

• A) 15
• B) 16 ✓
• C) 17
• D) 18

• İki asal sayının farkı tek ise (1247 tektir), biri çift (yani 2) diğeri tektir. • a - 2 = 1247 => a = 1249. • 1249'un rakamları toplamı: 1+2+4+9 = 16.

16. a, b, c birer doğal sayıdır. a + b + c = 19 olduğuna göre, a · b · c çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?

• A) 150
• B) 230
• C) 252 ✓
• D) 264

• Çarpımın en büyük olması için sayılar birbirine en yakın seçilmelidir. • 19'u 3'e bölersek 6, 6, 7 en yakın değerlerdir. • 6 · 6 · 7 = 36 · 7 = 252.

17. 5a = 7b eşitliğini sağlayan en küçük a ve b pozitif tam sayıları için a + 2b toplamı kaçtır?

• A) 19
• B) 17 ✓
• C) 16
• D) 15

• 5a = 7b => a=7k, b=5k. En küçük pozitif tam sayılar için k=1 alınır. • a=7, b=5. • a + 2b = 7 + 2(5) = 17.

18. a, b, c birbirinden farklı negatif tam sayılar; a + 3b > 6b ve b + 2c < 9c olduğuna göre a + b + c toplamının en büyük değeri kaçtır?

• A) -32
• B) -31
• C) -11 ✓
• D) -9

• a > 3b ve b < 7c. • Negatif tam sayılarda en büyük değer 0'a yakın olandır. • c = -1 (max). • b < -7 => b = -8 (max, farklı). • a > -24 => a = -2 (max, farklı -1 ve -8'den). • Toplam: (-2) + (-8) + (-1) = -11.

19. x ve y birer doğal sayıdır. 5x = 4y olduğuna göre, 2x + y ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

• A) 0 ✓
• B) 6
• C) 13
• D) 14

• 5x = 4y ise x=4k, y=5k. • k=0 için x=0, y=0 (Doğal sayı). • 2x + y = 0 + 0 = 0.

20. a, b ve c pozitif tam sayılardır. a + b + c < 50 ve a + b = 3c olduğuna göre, c en çok kaç olabilir?

• A) 9
• B) 10
• C) 11
• D) 12 ✓

• a+b yerine 3c yazılır. • 3c + c < 50 => 4c < 50 => c < 12.5. • En büyük tam sayı değeri 12'dir.

21. x pozitif bir tam sayıdır. (5x + 6)/x ifadesi doğal sayı olduğuna göre, x'in alabileceği değerler toplamı kaçtır?

• A) 0
• B) 6
• C) 12 ✓
• D) 21

• İfadeyi (5x/x) + (6/x) = 5 + 6/x şeklinde parçalayalım. • İfadenin bir doğal sayı olması için 6/x oranının bir tam sayı olması gerekir. • x pozitif tam sayı olduğu için 6'nın pozitif bölenlerini alırız: 1, 2, 3 ve 6. • x'in alabileceği değerler toplamı: 1 + 2 + 3 + 6 = 12 olur.

22. x, y ∈ N olmak üzere, 3x + 5y = 46 eşitliğini sağlayan (x, y) sıralı ikilisi kaç tanedir?

• A) 5
• B) 4
• C) 3 ✓
• D) 2

• 3x + 5y = 46. • y=2 için 3x=36 -> x=12. (12, 2) • x her adımda 5 azalırken y 3 artar. • (7, 5) ve (2, 8). • Toplam 3 farklı ikili vardır.

23. x ve y birer tam sayıdır. 2xy + y = 6 olduğuna göre, y kaç farklı değer alabilir?

• A) 8
• B) 6
• C) 5
• D) 4 ✓

• Denklemi y parantezine alırsak: y(2x + 1) = 6 olur. • Burada 2x+1 ifadesi her zaman bir tek sayıdır. Bu yüzden y, 6'yı böldüğünde sonucun tek sayı çıkması gerekir. • 6'nın bölenlerinden tek olanlar: 1, -1, 3, -3 sayılarıdır. • Bu durumda 2x+1 bu değerleri alabilir: - 2x+1 = 1 \Rightarrow x=0, y=6 - 2x+1 = -1 \Rightarrow x=-1, y=-6 - 2x+1 = 3 \Rightarrow x=1, y=2 - 2x+1 = -3 \Rightarrow x=-2, y=-2 • y'nin alabileceği 4 farklı tam sayı değeri vardır.

24. x ve y sayma sayılardır. 3x + y = 20 olduğuna göre, x + 3y nin alabileceği en büyük değer kaçtır?

• A) 12
• B) 20
• C) 36
• D) 52 ✓

• 3x + y = 20. • En büyük x+3y için y'yi maksimize etmek gerekir (katsayısı 3 olduğu için). • x=1 (sayma sayısı en küçük) => 3(1) + y = 20 => y=17. • x+3y = 1 + 3(17) = 1 + 51 = 52.

25. a, b ve c tam sayılar olmak üzere, a + c = 2b + 1 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

• A) c² - a çift sayıdır
• B) a + c tek sayıdır ✓
• C) a.c tek sayıdır
• D) b² + a³ çift sayıdır

• a + c = 2b + 1 eşitliğinde, b bir tam sayı olduğu için 2b + 1 ifadesi her zaman tek sayıdır. • Dolayısıyla, a + c toplamı da her zaman tek sayı olmak zorundadır. • Bu nedenle 'a + c tek sayıdır' ifadesi kesinlikle doğrudur.