Permütasyon, Kombinasyon ve Olasılık 2

1. Bir torbada 1'den 6'ya kadar numaralı altı top bulunmaktadır. Torbadan bir top alındığında üzerindeki numaranın çift veya 2 olma olasılığı nedir?

• A) 1/2 ✓
• B) 1/3
• C) 1/4
• D) 2/3

Adım adım çözüm: 1. Çift (2,4,6) -> 3 durum. 2 zaten çift. 3/6 = 1/2.

2. Hilesiz iki zar atılıyor. Üst yüze gelen sayıların toplamının 8 olma olasılığı kaçtır?

• A) 5/36 ✓
• B) 1/6
• C) 1/9
• D) 4/36

Adım adım çözüm: 1. Durumlar sayılır. 2. (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) -> 5 durum 3. 5/36 4. Sonuç: 5/36.

3. ANNE kelimesinin harfleriyle anlamlı ya da anlamsız 4 harfli kaç farklı kelime yazılabilir?

• A) 6
• B) 12 ✓
• C) 24
• D) 4

Adım adım çözüm: 1. Toplam harf sayısı: 4. 2. Tekrar eden harfler: 2 tane 'N'. 3. Tekrarlı permütasyon formülü: 4! / 2!. 4. Hesaplama: 24 / 2 = 12.

4. MAKAM sözcüğünün harfleriyle, kaç farklı anlamlı ya da anlamsız beş harfli sözcük yazılabilir?

• A) 5
• B) 15
• C) 30 ✓
• D) 40

Adım adım çözüm: 1. MAKAM kelimesinde toplam 5 harf vardır. 2. Tekrar eden harfler: 2 tane 'M' ve 2 tane 'A'. 3. Tekrarlı permütasyon formülü uygulanır: 5! / (2! × 2!). 4. Hesaplama: 120 / (2 × 2) = 120 / 4 = 30.

5. A = {1, 2, 3, 4} kümesinin permütasyonlarının kaçında 1 elemanı 2'nin solunda yer alır?

• A) 6
• B) 12 ✓
• C) 8
• D) 24

Adım adım çözüm: 1. Tüm dizilişlerin sayısı: 4! = 24. 2. Herhangi bir dizilimde ya '1, 2'den soldadır' ya da '2, 1'den soldadır'. 3. Simetriden dolayı bu iki durumun sayısı eşittir. 4. Bu nedenle tüm durumların tam yarısında 1 soldadır: 24 / 2 = 12.

6. Bir torbada 4 sarı ve 5 mavi top vardır. Torbadan üç top çekildiğinde birincinin mavi, ikincinin sarı ve üçüncünün mavi olma olasılığı nedir?

• A) 10/47
• B) 5/63
• C) 10/63 ✓
• D) 10/28

Adım adım çözüm: 1. 1. Mavi: 5/9, 2. Sarı: 4/8, 3. Mavi: 4/7. 5/9 * 4/8 * 4/7 = 10/63.

7. Bir torbada 4 kırmızı, 3 yeşil ve 2 mavi top vardır. Torbadan rastgele bir top çekildiğinde, yeşil bir top çekme olasılığı nedir?

• A) 3/9
• B) 1/3 ✓
• C) 3/10
• D) 2/9

Adım adım çözüm: 1. Olasılık hesabı yapılır. 2. Yeşil: 3, Toplam: 9 3. 3/9 4. Sadeleştirme: 1/3 5. Sonuç: 1/3.

8. Bir hedefi vurma olasılığı 1/5 olan bir atıcının yaptığı iki atış sonunda hedefi en az bir kez vurma olasılığı kaçtır?

• A) 1/25
• B) 4/25
• C) 9/25 ✓
• D) 16/25

Adım adım çözüm: 1. 'En az bir kez vurma' olasılığını bulmak için, hedefe hiç isabet ettirememe olasılığını tümden çıkarırız. 2. Vuramama olasılığı: 1 - 1/5 = 4/5. 3. İki atışta da vuramama olasılığı: 4/5 × 4/5 = 16/25. 4. En az bir kez vurma olasılığı: 1 - 16/25 = 9/25.

9. Anne, baba ve 4 çocuktan oluşan bir aile fotoğraf çektirmek istiyor. Anne, baba ve en küçük çocuk arkada olmak üzere, kaç farklı şekilde poz verebilirler?

• A) 12
• B) 24
• C) 36 ✓
• D) 48

Adım adım çözüm: 1. Arkada 3 kişi (A, B, K) 3! = 6. Önde 3 çocuk 3! = 6. 6 * 6 = 36.

10. P(5, 2) permütasyonunun değeri kaçtır?

• A) 10
• B) 20 ✓
• C) 60
• D) 120

Adım adım çözüm: 1. Permütasyon formülü P(n, r) = n! / (n-r)! şeklindedir. 2. Kısa yoldan n'den başlayarak r tane sayıyı geri giderek çarparız. 3. P(5, 2) = 5 × 4 = 20.

11. Bir kutuda, birden sekize kadar numaralı bilardo topları vardır. Kutudan bir top alındığında üzerindeki numaranın 3'ten büyük veya 1 olma olasılığı nedir?

• A) 2/3
• B) 1/4
• C) 5/8
• D) 3/4 ✓

Adım adım çözüm: 1. >3 (4,5,6,7,8) -> 5 durum. 1 olma -> 1 durum. Toplam 6 durum. 6/8 = 3/4.

12. 30 kişilik bir sınıftan bir başkan ve bir başkan yardımcısı seçilecektir. 5 kişi seçimlere katılmadıysa, bu seçim yeni durumda kaç farklı şekilde sonuçlanabilir?

• A) 600 ✓
• B) 300
• C) 245
• D) 160

Adım adım çözüm: 1. 25 kişiden başkan 25, yrd 24. 25 * 24 = 600.

13. Yener ile Özgül 1'den 12'ye kadar tam sayılarla numaralandırılmış 12 topun bulunduğu torbadan ikişer tane top çekiyorlar. Yener'in çektiği topların numaraları toplamı 13'tür. Özgül'ün çektiği topların numaraları çarpımı, Yener'in çektiği topların numaraları çarpımına eşittir. Buna göre çekilen dört topun numaraları toplamı kaç farklı değer alır?

• A) 3
• B) 4
• C) 5 ✓
• D) 6

Adım adım çözüm: 1. Yener'in topları toplamı 13 ise olası çiftler: (1,12), (2,11), (3,10), (4,9), (5,8), (6,7). 2. Bu çiftlerin çarpımları sırasıyla: 12, 22, 30, 36, 40, 42. 3. Özgül'ün toplarının çarpımı bunlardan birine eşit olmalı: 4. - Çarpım 12 ise: (3,4) veya (2,6). (Yener 1,12 iken) 5. - Çarpım 30 ise: (5,6). (Yener 3,10 iken) 6. - Çarpım 36 ise: (3,12). (Yener 4,9 iken) 7. - Çarpım 40 ise: (4,10). (Yener 5,8 iken) 8. Oluşan 4'lü grupların toplamlarını bulalım: 9. - (1,12,3,4) = 20 10. - (1,12,2,6) = 21 11. - (3,10,5,6) = 24 12. - (4,9,3,12) = 28 13. - (5,8,4,10) = 27 14. Toplamda 5 farklı değer oluşur.

14. 8 kişilik bir takımdan 5 kişilik bir ekip ve bu ekipten bir kaptan kaç farklı şekilde seçilebilir?

• A) 56
• B) 280 ✓
• C) 120
• D) 336

Adım adım çözüm: 1. Önce 8 kişi arasından 5 kişilik ekibi seçelim: C(8, 5) = C(8, 3) = (8 * 7 * 6) / (3 * 2 * 1) = 56. 2. Sonra seçilen 5 kişi arasından 1 kaptan seçelim: 5 seçenek. 3. Toplam durum: 56 * 5 = 280.

15. Bir madeni para 3 kez havaya atılıyor. İlk atışta tura geldiği bilindiğine göre, en az bir kez yazı gelme olasılığı nedir?

• A) 3/4 ✓
• B) 1/2
• C) 1/3
• D) 5/8

Adım adım çözüm: 1. Kalan 2 atışta {TT, TY, YT, YY} durumları var. En az bir yazı {TY, YT, YY} -> 3/4.

16. 4 doktor ve 3 hemşire arasından en az bir doktorun bulunduğu 3 kişilik bir ekip kaç farklı şekilde kurulabilir?

• A) 30
• B) 34 ✓
• C) 35
• D) 20

Adım adım çözüm: 1. Tüm durumlar (7 kişiden 3 seçim): C(7, 3) = (7*6*5) / (3*2*1) = 35. 2. İstenmeyen durum (hiç doktor olmaması, yani sadece hemşire seçilmesi): C(3, 3) = 1. 3. Sonuç: Tüm durumlar - İstenmeyen = 35 - 1 = 34.

17. 4 doktor ve 5 hemşire arasından, 2 doktor ve 3 hemşireden oluşan bir ilk yardım ekibi kurulacaktır. Bu ekip kaç farklı şekilde kurulabilir?

• A) 10
• B) 16
• C) 24
• D) 60 ✓

Adım adım çözüm: 1. 4 doktordan 2'sinin seçilmesi: C(4, 2) = (4 * 3) / 2 = 6. 2. 5 hemşireden 3'ünün seçilmesi: C(5, 3) = C(5, 2) = (5 * 4) / 2 = 10. 3. Toplam farklı ekip sayısı: 6 * 10 = 60.

18. Bir torbada özdeş 2 mavi, 3 kırmızı ve 6 yeşil top vardır. Bu torbada art arda çekilen 3 toptan birincinin yeşil, ikincinin mavi, üçüncünün kırmızı olma olasılığı kaçtır?

• A) 2/55 ✓
• B) 3/55
• C) 4/55
• D) 1/110

Adım adım çözüm: 1. Toplam top sayısı: 2 + 3 + 6 = 11. 2. Birincinin Yeşil olma olasılığı: 6/11. 3. İkincinin Mavi olma olasılığı (10 top kaldı): 2/10. 4. Üçüncünün Kırmızı olma olasılığı (9 top kaldı): 3/9. 5. Olasılıklar çarpılır: (6/11) * (2/10) * (3/9) = 36 / 990. 6. Sadeleştirme (18 ile): 2/55.

19. Hilesiz bir çift zar aynı anda atılıyor. Üst yüze gelen sayılar toplamının 8'den büyük olma olasılığı nedir?

• A) 2/5
• B) 5/18 ✓
• C) 1/6
• D) 5/9

Adım adım çözüm: 1. İki zar atıldığında toplam 36 olası durum vardır. 2. Toplamı 8'den büyük olan (9, 10, 11, 12) durumları listeleyelim: 3. Toplam 9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) -> 4 durum 4. Toplam 10: (4,6), (5,5), (6,4) -> 3 durum 5. Toplam 11: (5,6), (6,5) -> 2 durum; Toplam 12: (6,6) -> 1 durum. 6. Toplam istenen durum sayısı: 4+3+2+1 = 10. Olasılık: 10/36 = 5/18.

20. A ve B bağımsız olaylar olmak üzere P(A)=1/2 ve P(B)=1/3 ise P(A ∩ B) kaçtır?

• A) 1/6 ✓
• B) 5/6
• C) 2/3
• D) 1/5

Adım adım çözüm: 1. A ve B bağımsız olaylar ise, bu olayların aynı anda gerçekleşme olasılığı kendi olasılıklarının çarpımına eşittir. 2. Formül: P(A ∩ B) = P(A) × P(B). 3. Verilen değerlere göre: 1/2 × 1/3 = 1/6 bulunur.

21. 5 farklı matematik kitabı ve 4 farklı fizik kitabı bir rafa diziliyor. Fizik kitaplarının bir arada olma olasılığı kaçtır?

• A) 1/21 ✓
• B) 1/35
• C) 1/126
• D) 1/14

Adım adım çözüm: 1. Toplam 9 kitabın rastgele dizilme sayısı: 9!. 2. Fizik kitaplarını paketleyelim (bir kitap gibi görelim). Geriye 5 matematik + 1 paket fizik kitabı kalır. 3. Bu 6 elemanın dizilme sayısı: 6!. 4. Fizik kitaplarının kendi içindeki dizilimleri: 4!. 5. İstenen durum: 6! * 4!. 6. Olasılık: (6! * 4!) / 9! = (6! * 24) / (9 * 8 * 7 * 6!) = 24 / 504 = 1/21.

22. KELEBEK kelimesinin harfleriyle 7 harfli kaç farklı kelime yazılabilir?

• A) 420 ✓
• B) 840
• C) 210
• D) 1260

Adım adım çözüm: 1. Toplam harf sayısı: 7. 2. Harf dağılımı: 3 tane 'E', 2 tane 'K', 1 tane 'L', 1 tane 'B'. 3. Tekrarlı permütasyon formülü: 7! / (3! * 2!). 4. Hesaplama: 5040 / (6 * 2) = 5040 / 12 = 420.

23. Yarıçapı 6 cm olan bir dairenin içinden seçilen bir noktanın dairenin merkezine olan uzaklığının en çok 2 cm olma olasılığı kaçtır?

• A) 1/4
• B) 1/9 ✓
• C) 1/10
• D) 1/3

Adım adım çözüm: 1. Tüm alan (Yarıçap = 6): pi * R² = pi * 36. 2. İstenen bölge (Yarıçap ≤ 2 olan daire içi): pi * r² = pi * 4. 3. Olasılık = İstenen Alan / Tüm Alan = (4 * pi) / (36 * pi) = 4/36 = 1/9.

24. Anne, baba ve 4 çocuktan oluşan bir aile yuvarlak bir masa etrafında oturacaklardır. Anne ve babanın yan yana oturmama olasılığı kaçtır?

• A) 2/5
• B) 3/5 ✓
• C) 4/5
• D) 1/2

Adım adım çözüm: 1. Tüm durumlar (6 kişi yuvarlak masa): (6-1)! = 5! = 120. 2. İstenmeyen durum (Anne ve Babanın yan yana olması): Bunları paketleyelim (1 kişi gibi). Geriye (5-1)! = 4! = 24 durum kalır. Yanlarına bir de kendi aralarındaki yer değişimini (2!) eklersek: 24 * 2 = 48 durum. 3. Anne ve babanın yan yana olma olasılığı: 48 / 120 = 2/5. 4. Yan yana oturmama olasılığı: 1 - 2/5 = 3/5.

25. C(6, 4) kombinasyonunun değeri kaçtır?

• A) 15 ✓
• B) 20
• C) 30
• D) 6

Adım adım çözüm: 1. C(n, r) = C(n, n-r) özelliğini kullanalım. 2. C(6, 4) = C(6, 6-4) = C(6, 2). 3. C(6, 2) = (6 * 5) / (2 * 1) = 30 / 2 = 15.