Eşitsizlik ve Mutlak Değer 3

1. -3 < x ≤ 2 aralığındaki tam sayıların çarpımı kaçtır?

• A) 0 ✓
• B) 6
• C) -12
• D) 4

Değerler yazılır. • Tam sayılar: -2, -1, 0, 1, 2 • Çarpımda 0 olduğu için sonuç sıfırdır. Sonuç: 0.

2. x, y, z negatif tam sayılardır. 3/(2x) = 4/(3y) = 7/(2z) eşitliğine göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?

• A) z < x < y ✓
• B) x < y < z
• C) y < x < z
• D) z < y < x

• Verilen 3/(2x) = 4/(3y) = 7/(2z) eşitliğinde paydaları ve payları kıyaslayalım. • Negatif sayılarda sıralama, pozitif gibi düşünülüp ters çevrilerek bulunur. • Eşitliği k gibi bir sabit düşünürsek, payı büyük olanın paydası da (mutlak değerce) büyük olmalıdır. • Paylar: 3, 4, 7. En büyük pay 7 (z'nin olduğu kısım), en küçük pay 3 (x'in olduğu kısım). • Mutlak değerce |2z| en büyük, sonra |3y|, en küçük |2x| gibi bir ilişki beklenir. • Ancak katsayılar (2, 3, 2) da etkili. Kesin sıralama için değer verelim: • Eşitliği -1/12'ye eşitleyelim. • 3/(2x) = -1/12 → 2x = -36 → x = -18 • 4/(3y) = -1/12 → 3y = -48 → y = -16 • 7/(2z) = -1/12 → 2z = -84 → z = -42 • Sıralama: -42 < -18 < -16 yani z < x < y. Sonuç: z < x < y.

3. -7 < x < 5 ve -4 < y < 7 ise x.y çarpımının en geniş aralığı nedir?

• A) (-28, 35)
• B) (-49, 35) ✓
• C) (-20, 28)
• D) (-35, 49)

• Uç noktaları çarpalım: • (-7).(-4) = 28 • (-7).7 = -49 (En küçük) • 5.(-4) = -20 • 5.7 = 35 (En büyük) • Aralık: (-49, 35). Sonuç: (-49, 35).

4. 3x + 2 ≤ 11 eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı değeri kaçtır?

• A) 2
• B) 3 ✓
• C) 4
• D) 5

• Adım 1: Bilinenler bir tarafa, bilinmeyenler diğer tarafa alınır. 3x ≤ 11 - 2 ise 3x ≤ 9 olur. • Adım 2: Her iki taraf x'in katsayısına (3'e) bölünür. x ≤ 3 • Sonuç: Sembol 'küçük veya eşit' (≤) olduğu için 3 sayısı da çözüme dahildir. En büyük tam sayı 3 olur.

5. Bir mal a TL'ye alınıp b TL'ye satılmaktadır. b = 7a - 540 bağıntısı vardır. Zarar edilmemesi için a en az kaç olmalıdır?

• A) 84
• B) 86
• C) 90 ✓
• D) 95

• Zarar edilmemesi için Satış ≥ Alış olmalıdır (b ≥ a). • 7a - 540 ≥ a • 6a ≥ 540 • a ≥ 90. Sonuç: 90.

6. |3ˣ - 50| < 79 eşitsizliğinde x'in alabileceği doğal sayı değerleri kaç tanedir?

• A) 4
• B) 5 ✓
• C) 6
• D) 8

• Mutlak değeri açalım: -79 < 3ˣ - 50 < 79 • Her tarafa 50 ekleyelim: -29 < 3ˣ < 129 • Doğal sayılar kümesi 0'dan başlar (x ∈ {0, 1, 2, ...}). • 3ˣ ifadesi x=0 için 1, x=1 için 3... değerlerini alır ve -29'dan büyüktür. • 3ˣ < 129 şartını sağlayan doğal sayılar: 0, 1, 2, 3, 4 (Çünkü 3⁰=1, 3⁴=81, 3⁵=243 > 129) • Değerler: 0, 1, 2, 3, 4 olmak üzere toplam 5 tanedir. Sonuç: 5.

7. |x| = -2 denkleminin çözüm kümesi nedir?

• A) {2}
• B) {-2}
• C) {2, -2}
• D) Boş Küme (∅) ✓

Mutlak değer özelliği kullanılır. • Mutlak değer sonucu negatif olamaz. Sonuç: Boş Küme.

8. a bir reel sayı olmak üzere, a² < a olduğuna göre 3a + 4 ifadesinin alabileceği tam sayı değerleri toplamı kaçtır?

• A) 9
• B) 10
• C) 11 ✓
• D) 12

• a² < a ise 0 < a < 1 dir. • 3a + 4 ifadesini oluşturalım: 0 < 3a < 3 → 4 < 3a+4 < 7. • Bu aralıktaki tam sayılar: 5 ve 6. • Toplam: 5 + 6 = 11. Sonuç: 11.

9. x² < x eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir?

• A) x > 1
• B) x < 0
• C) 0 < x < 1 ✓
• D) x = 0

Sayı analizi yapılır. • Karesi kendisinden küçük olan sayılar 0 ile 1 arasındaki basit kesirlerdir. Sonuç: 0 < x < 1.

10. |a| = 5 ve |b| = 3 ise a + b'nin alabileceği en küçük değer kaçtır?

• A) 2
• B) -2
• C) -8 ✓
• D) 8

En küçük olması için negatifler seçilir. • a = -5, b = -3 • Toplam: -5 + (-3) = -8 Sonuç: -8.

11. a, b, c gerçel sayılardır. a < a³ < a² ve a.b < 0 ve c = a - b olduğuna göre sıralama nasıldır?

• A) a < c < b
• B) b < c < a
• C) c < a < b
• D) c < a < 0 < b ✓

• a < a³ < a² eşitsizliği -1 < a < 0 aralığını verir. • a negatif, a.b < 0 ise b pozitiftir (b > 0). • c = a - b. (Negatif - Pozitif) = Daha küçük negatif. • Yani c, a'dan daha küçüktür (c < a). • Sıralama: c < a < 0 < b. Sonuç: c < a < 0 < b.

12. 2ˣ = 40, 3ʸ = 200, 5ᶻ = 500 sıralaması nasıldır?

• A) x > y > z ✓
• B) z > y > x
• C) y > x > z
• D) x > z > y

• 2^5=32, 2^6=64 → x, 5 ile 6 arasında. • 3^4=81, 3^5=243 → y, 4 ile 5 arasında. • 5^3=125, 5^4=625 → z, 3 ile 4 arasında. • Sıralama: x > y > z. Sonuç: x > y > z.

13. 3x - 2y - 7 = 0 ve -2 ≤ x < 5 olduğuna göre y kaç farklı tam sayı değeri alabilir?

• A) 9
• B) 10 ✓
• C) 11
• D) 12

• 3x = 2y + 7 → x = (2y+7)/3. • Eşitsizlikte yerine yazalım: -2 ≤ (2y+7)/3 < 5 • -6 ≤ 2y + 7 < 15 • -13 ≤ 2y < 8 • -6.5 ≤ y < 4 • y tam sayıları: -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. • Toplam 10 değer. Sonuç: 10.

14. x bir tam sayı olmak üzere, x - 3 < 2x - 6 ≤ x + 2 eşitsizliğinin çözüm kümesi kaç elemanlıdır?

• A) 4
• B) 5 ✓
• C) 6
• D) 7

• Sol taraf: x - 3 < 2x - 6 → 3 < x. • Sağ taraf: 2x - 6 ≤ x + 2 → x ≤ 8. • Birleşim: 3 < x ≤ 8. • Tam sayılar: 4, 5, 6, 7, 8. • Toplam 5 eleman. Sonuç: 5.

15. 2x > y > 0 ve z = (2x + y) / y olduğuna göre z için hangisi doğrudur?

• A) z > 2 ✓
• B) z < 2
• C) z = 2
• D) z = 1

• z = 2x/y + y/y = 2x/y + 1. • 2x > y olduğundan 2x/y > 1 dir. • z > 1 + 1 → z > 2. Sonuç: z > 2.

16. x - 3 > 2x + 1 eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir?

• A) x < -4 ✓
• B) x > -4
• C) x < 4
• D) x > 4

Bilinenler bir tarafa toplanır. • -3 - 1 > 2x - x • -4 > x (veya x < -4) Sonuç: x < -4.

17. |x - 1| = 1 denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır?

• A) 0 ✓
• B) 1
• C) 2
• D) -1

Denklem çözülür. • x - 1 = 1 => x = 2 • x - 1 = -1 => x = 0 • Çarpım: 2 × 0 = 0 Sonuç: 0.

18. x < y < 0 ise aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

• A) |x| < |y|
• B) |x| > |y| ✓
• C) x² < y²
• D) x - y > 0

Değer verilerek kontrol edilir. • x = -5, y = -2 olsun. • |-5| > |-2| => 5 > 2 Sonuç: |x| > |y|.

19. a ve b birer TAM SAYI olmak üzere, 2 < a < 5 ve 1 < b < 4 ise 2b - 3a ifadesinin alacağı en küçük değer kaçtır?

• A) -8 ✓
• B) -9
• C) -10
• D) -11

• a ve b tam sayı dediği için aralıktan değer seçmeliyiz. • İfadeyi küçültmek için b'yi en küçük, a'yı en büyük seçmeliyiz. • Min b = 2 (1 ile 4 arasında). • Max a = 4 (2 ile 5 arasında). • 2(2) - 3(4) = 4 - 12 = -8. Sonuç: -8.

20. x + y < 0, y + z > 0, x + z < 0 olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

• A) x < 0 ✓
• B) y > 0
• C) z < 0
• D) x . y . z < 0

• x'in pozitif olduğunu varsayalım (x > 0). • x + z < 0 ise z negatiftir ve mutlak değerce x'ten büyüktür (|z| > x). • y + z > 0 ise y pozitiftir ve mutlak değerce z'den büyüktür (y > |z|). • Bu durumda y > |z| > x sıralaması olur. Dolayısıyla y de x de pozitiftir. • İki pozitif sayının toplamı (x + y) pozitif olmalıdır. Ancak soruda x + y < 0 verilmiş. • Bu bir çelişkidir. Demek ki varsayımımız yanlıştır; x pozitif olamaz. • O halde x kesinlikle negatiftir (x < 0). Sonuç: x < 0.

21. x < -1 < y < 0 < z < 1 olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

• A) x.z < -1
• B) y.z < x
• C) x + y < -1 ✓
• D) x.y > 1

• I. x.z < -1? x=-1.5, z=0.1 olsa çarpım -0.15 olur, yanlış. • II. y.z < x? y.z (negatif * pozitif) küçük bir negatif sayı, x büyük bir negatif sayı (örn -2). -0.1 < -2 yanlıştır. • III. x + y < -1? x zaten -1'den küçük (örn -1.1). y de negatif. Toplamları kesinlikle -1'den küçüktür. Sonuç: x + y < -1.

22. Aşağıdakilerden hangisi |x| < 2 eşitsizliğini sağlamaz?

• A) 1
• B) 0
• C) -1
• D) -2 ✓

Seçenekler denenir. • |-2| = 2 • 2 < 2 ifadesi yanlıştır. Sonuç: -2 sağlamaz.

23. x ve y gerçel sayılardır. 3x = 7y ve y²/x < 0 olduğuna göre hangisi doğrudur?

• A) x > y
• B) x + y > 0
• C) x < y ✓
• D) x . y < 0

• y²/x < 0 → y² daima pozitif olduğundan x kesinlikle negatiftir (x < 0). • 3x = 7y eşitliğinde x negatif ise, eşitliğin sağlanması için y de negatif olmalıdır. • x = 7k, y = 3k diyelim (k negatif bir sayı). • Örnek: k = -1 olsun. x = -7, y = -3 olur. • Sayı doğrusunda -7, -3'ten daha soldadır (küçüktür). • Dolayısıyla x < y eşitsizliği doğrudur. Sonuç: x < y.

24. |x| + x = 0 eşitliğini sağlayan en geniş aralık hangisidir?

• A) x > 0
• B) x < 0
• C) x ≤ 0 ✓
• D) x ≥ 0

Denklem düzenlenir. • |x| = -x • Bu durum x negatif veya 0 olduğunda geçerlidir. Sonuç: x ≤ 0.

25. 2 < |x| < 5 eşitsizliğini sağlayan tam sayıların toplamı kaçtır?

• A) 0 ✓
• B) 7
• C) -7
• D) 14

Değerler bulunur. • Pozitifler: 3, 4 • Negatifler: -3, -4 • Toplam: 3 + 4 - 3 - 4 = 0 Sonuç: 0.